『４４日』

３８日という答えが一番多いそうです。

注意すべきは、数字や順番よりも、条件を正確に理解しているかです。条件を理解しないまま「出題者にインタビュー！」にある解説を読んでも解説を理解できません。

そして一番多かったと言われる３８の場合はこのような考えだと思います。

条件から「２，１２，２０」を覚えるために、忘れる数字を先に１８個覚えます。
ここまで１８日。
そして「２，１２，２０」と覚えて、他の数字はすべて忘れます。
ここまで２１日。
残りの１７個を１７日で覚え、合計で３８日。

これだと、「覚えたい２０個以外の数字は覚えられない」の条件に反しています。あとから覚える「２，１２，２０」以外の数字は１７個しかないのです。同じ数字を覚えるなんてことも「数字を覚えようとしている」という問題主旨にそもそも適っていないので違います。

正解の解説はこうです。

２のつかない数字１７個と２を覚え、２のつかない数字の最初の６個を忘れる。
ここまで１８日。
２のつかない数字６個と１２を覚え、最初に覚えた２のつかない数字のうちの６個を忘れる。
ここまで２５日。
２０を覚え、最初に覚えた２のつかない数字のうちの残り５個と２を忘れる。
ここまで２６日。
２を覚え、後から覚えた２のつかない数字の６個を忘れる。
ここまで２７日。
残りの１７個を１７日で覚え、合計で４４日。

筆者の出した最初の答えは以下のように最多回答より１日短い３７日になりました。

２のつかない数字５個と２を覚え、２のつかない数字５個を忘れる、ここまで６日。
２のつかない数字６個と１２を覚え、２のつかない数字６個を忘れる、２はもう覚えているので忘れない。これが７日、合計で１３日。
２のつかない数字６個と２０を覚え、２のつかない数字６個を忘れる、２と１２はもう覚えているので忘れない。これが７日、合計で２０日。
残りの１７個を１７日で覚え、合計で３７日。

これだと、「２のつく数字を覚えるときに、それまでに覚えた数字を覚えた順が古いものから６個忘れる」の条件に反しています。古いものから忘れるので、本当は忘れる数字の最後が残り２や１２は忘れています。

正解解説では２を忘れる数として１度処理していますが、どうせ忘れるなら、忘れる数字６個に対して５個覚えている状態で２のつく数字を覚えたときに５個しか忘れないで済むという有利条件を組み込めないかと思い、試しにやってみました。

２のつかない数字５個と２を覚え、２のつかない数字の最初の５個を忘れる。
ここまで６日。
２のつかない数字１７個を覚えて、２のつく３つの数字を覚えるための条件が揃いました。
ここまで２３日。
「１２，２０，２」と覚え、２と２のつかない数字のうちの１７個を忘れる。
ここまで２６日。
残りの１７個を１７日で覚え、合計で４３日。